Док-во: Sлун.=S▲ 1)▲ABC- прямоугольный, т.к. угол C опирается на диаметр. AC=BC - т.к. ▲равнобедренный, обозначим AC=BC-x ед. По теореме Пифагора а²+b²=c² х²+х²=(2r)² 2x²=4r² | :2 x=√2r² x=r√2, r>0 2) S=ab/2 - площадь прямоугольного треугольника. S=(r√2*r√2)/2=2r²/2=r² 3) Sлун=½Sкр.-(¼Sкр.2-S▲)=½Пr²-[¼П(r√2)²-r²]=½Пr²-[¼П*r²*2+r²=½Пr²-½Пr²+r²=r² Получили: Sлун=S▲

Доказать, что площадь луночки Гиппократа равна площади ▲ BOC. Доказать: S лун.=S▲ Решение: 1) S▲=(a*b)/2 ; S=R²/2 2) S лун.= ½Sкр.-(¼Sкр.-S▲)=½Sкр.2-¼Sкр.+S▲ 3) Расм.▲BOC - прямоугольный, равнобедренный, т.к. OB=OC=R По теореме Пифагора а²+b²=c² R²+R²=(2r)² 2R²=4r² | :2 R²=2R²(т.к. в Sкр. радиусы в квадрате, то не обязательно вычислять R) 4) ½Sкр.2=½Пr² 5) ¼Sкр.1=¼ПR²-¼П*2r²=½Пr²(ед.²) 6) Sлун.=½Пr²-½Пr²+S▲=S▲ Sлун.=S▲

а²+b²=c² Доказать:S1+S2=S▲ 1)▲ABC-прямоугольный, т.к. угол С опирается на диаметр. AB=C;AC=b;BC=a 2)AC=d=>r=d/2, r=b/2 BC=d=>r=a/2, Sкр.=¶r², S▲=ab/2 3)S1+S2=1/2*Sкр1-1/2*Sкр2-(1/2*Sкр3-S▲)=1/2*¶*b²/4+1/2*¶*а²/4-(1/2*¶*c²/4)= =¶/8(а²+b²-c²+ab/2)=ab/2=>S▲=S1+S2, т.к., по теореме Пифагора, а²+b²=c², значит, а²+b²-с²=0, ¶/8*0=0. S1+S2=S▲

Задачи на применение теоремы Пифагора.

http://pifagor8b.blog.ru/114901763.html

1. Диагонали ромба равны 16 см и 12 см. Найдите периметр ромба.

Дано: BD=d1=16см и AC=d2=12см
Найти: P
Решение:
1) P=4a; P=4*AB
2) Рассмотрим треугольник ABO - прямоугольный, т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

По теореме Пифагора
а²+b²=c²
c²=а²+b²
AB²=BO²+AO²

3) BO=½BD; AO=½AC; BO=½*16=8(см); AO=½ *12=6(см)
4) AB²=8²+6²=64+36=100; AB=√100=10(см), т.к. AB>0
5) P=4*10=40(см)

2. Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон - 12 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.
Найти: S,P
1) S=a*b; S=AD*CD
2) Рассмотрим треугольник ACD - Прямоугольный

По теореме Пифагора
а²+b²=c²
AD²+D²=AC²
CD²=AC²=AD²
CD²=13²-12²=169-144=25
CD=√25=5(см),CD>0.

3) S=a*b; S=12*5=60(cм²)
4) P=2(a*b); P=2(AD+CD); P=2*(12+5)=34(см)

3. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 12 дм, боковая сторона 10 дм и высота 8 дм. Найдите площадь и периметр трапеции.
Найти: S,P
1) Проведём высоты BK и СМ
2) S=(a+b)/2*h; S=(AD+BC)/2*BK ; P=2AB+AD+BC
3) Рассмотрим треугольник ABK и треугольник DCM - прямоугольные
AB=DC- по условию
угол А=углу D - углы при основании равнобедренной трапеции.
Отсюда следует
треугольник ABK=треугольнику DCM по гипотенузе и острому углу.
Значит, соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
То есть AK=DM
4) AD=AK+KM+MD=2AK+KM. KM=BC - противолежащие стороны прямоугольника равны.
KM=12см
5) Рассмотрим треугольник ABK - прямоугольный

По теореме Пифагора
а²+b²=c²
AK²+BK²=AB²
AK²=AB²-BK²
AK²=10²-8²=100-64=36
AK=√36=6(дм),т.к. AK>0

6) AD=2*6+12=24(дм)
7) P=2*10+24+12=56(дм)
8) S=(24+12)/2*8=18*8=144(дм²)

Теорема пифагора. Формулировка.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пифагоровы числа

Натуральные числа a,b и с, удовлетворяющие равенству а²+b²=c² называются пифагоровыми числами. Евклид показал, тройки пифагоровых чисел можно получить из формул а=m²-n², b=2mn и с=m²+n², где m и n - любые положительные целые числа (m>n).
Например, таблица.

Знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут –

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцатиугольник и так далее, пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V века до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис. 1), известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром BC вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC (BC=AC). На AB и AC, как на диаметрах, описываются полуокружности.

Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.