Третьей знаменитой задачей древности является квадратура круга, т. е. задача об отыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Эту задачу в античной Греции рассматривали в двух аспектах: точном и приближённом. Последний аспект задачи привёл к введению приближения площади круга вписанными или описанными многоугольниками и к приближённым вычислениям числа

.Огромное же количество попыток точно квадрировать круг не могло привести к успеху вследствие трансцендентной природы этой задачи.
В самом деле, пусть отрезок r нулевое - радиус данного круга, тогда сторона x равновеликого квадрата находится по формуле x=r нулевое, умноженное на корень из

.Такое умножение можно выполнить лишь в случае, если это число является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Следовательно, строгую и полную трактовку задача квадратуры круга может получить только в результате выяснения арифметической природы числа

.Решение же этой проблемы растянулось на много веков.
Только в конце XVIII в. И.Ламберт и А.Лежандр сумели доказать, что

не является рациональным числом. Трансцендентность же этого числа, т. к. тот факт, что оно не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, была доказана в 1882 г. Ф. Линдеманом (1852-1939).
Античные математики, стремившиеся теоретически точно решить задачу о квадратуре круга, этого, разумеется, не знали. Но их усилия принесли развитию математики большую пользу, обогатив её новыми фактами и методами. Так, был разработан метод исчерпывания, являющийся предшественником метода пределов. Были введены различные трансцендентные кривые, в первую очередь квадратриса. Наконец, впервые в истории математики были найдены квадрируемсые фигуры, ограниченные кривыми линиями. Мы имеем здесь в виду луночки ( мениски ) Гиппократа Хиосского, образованные дугами окружностей.
Исследования Гиппократа опираются на теорему о том, что в кругах площади подобных сегментов пропорциональны квадратам диаметров.

Первая из квадрируемых луночек вырезана из полукруга другой радиуса r корень из двух, опирающейся на диаметр. Площадь луночки оказывается равной площади равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенузой которого служит диаметр круга.

Разновидностью этого результата является теорема о том, что если на сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построить окружность, то сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, будет равна площади треугольника.